Author Topic: System liczbowy Majów  (Read 1734 times)

Offline fistraist

  • Administrator
  • WyBudzony
  • *
  • Posts: 206
  • Reputacja: +3/-1
System liczbowy Majów
« on: (Sat) 10.05.2014, 20:49:39 »
SYSTEM ZAPISU LICZB


Bardzo oryginalny system zapisywania liczb stworzyło indiańskie plemię Majów, które zamieszkiwało południowo-wschodnią część Meksyku, Gwatemalę i część Hondurasu. Jako jedni z pierwszych wynaleźli zero (ok. 500 r.n.e. - a więc później niż Sumerowie, lecz wcześniej od Hindusów). Zero zaznaczane było rysunkiem przypominającym skorupkę ślimaka lub - jak inni twierdzą - półotwarte oko. System ten jest ściśle powiązany z kalendarzem, który składa się z 13 miesięcy, a każdy z nich składa się z 20 dni.

Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły (wraz z zerem) podstawowy zestaw ,,cyfr'' od 0 do 19 nazywane systemem dwudziestkowym. Powstał prawdopodobnie ze względu na to, iż najpierw Majowie liczyli używając do tego palców rąk i stóp. System ten posiadał tylko trzy symbole: zero, kropka i kreska pozioma. Łatwo zauważyć, że najważniejszą rolę odgrywa cyfra 5 (pozioma kreska). Liczby w tym systemie mogą byc zapisywane zarówno pionowo jak i poziomo.

W tym przypadku dwudziestkowe pozycje rosną od bazy w górę. W zapisie  poziomym linie są położone pionowo, a kropki stawiane są po lewej stronie; tutaj pozycje dwudziestkowe rosną na lewo od pierwszego zapisu.
   Jednakże system niniejszy nie był pozycyjnym systemem liczbowym w ścisłym tego słowa znaczeniu. W systemie dwudziestkowym pierwsza cyfra wskazywałaby ilość jednostek do 19, następna wskazywałaby ilość dwudziestek aż do 19, następna ilość 400 aż do 19 itd. System Majów rozpoczyna się w ten sposób z jednostkami do 19 oraz dwudziestkami do 19, jednak zmiana następuje na trzecim miejscu i tu wskazywana jest liczba 360 do 19 zamiast 400. Potem system powraca do normalnych wielokrotności dwudziestek, tak więc na czwartym miejscu jest liczba 18 x 202, następna liczba to 19 x 203 itd. Na przykład [8; 14; 3; 1; 12] odpowiada:

12 + 1 x 20 + 3 x 18 x 20 + 14 x 18 x 202 + 8 x 18 x 203 = 1253912.

   Jako drugi przykład [9; 8; 9; 13; 0] odpowiada:

0 + 13 x 20 + 9 x 18 x 20 + 8 x 18 x 202 + 9 x 18 x 203 = 1357100

Nasz system dziesiętny dzieli się na pozycje: 1, 10, 100, 1000, 10000 itd., a system Majów na pozycje: 1, 20, 400, 8000, 16000 itd. W systemie dziesiętnym istnieje dziesięć możliwych cyfr dla każdej pozycji liczbowej [0 – 9]; w systemie Majów istnieje ich 20 [0-19]. Np. w systemie dziesiętnym
31 = 10 x 3 + 1, natomiast u Majów 31 = 20 + 11. Majowie odkryli i używali liczby zero.

Pozycje liczbowe w dwudziestkowym pozycyjnym systemie Majów rosną odpowiednio pomnożone przez 20. Dla porównania liczba 168 421 w obu systemach liczbowych:




[table=border:1px solid #ffffff:1uhiy09e][tr=][td=text-align:center]Symbol [/td][td=text-align:center]Opis[/td][td=text-align:center]Znaczenie[/td][td=text-align:center]Symbol [/td][td=text-align:center]Opis[/td][td=text-align:center]Znaczenie[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Muszlopodobny znak[/td][td=text-align:center]0[/td][td=][/td][td=]Dwie kreski poziome i kropka nad[/td][td=text-align:center]11[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Kropka[/td][td=text-align:center]1[/td][td=][/td][td=]Dwie kreski poziome i dwie kropki nad[/td][td=text-align:center]12[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Dwie kropki poziomo[/td][td=text-align:center]2[/td][td=][/td][td=]Dwie kreski poziome i trzy kropki nad[/td][td=text-align:center]13[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Trzy kropki poziomo[/td][td=text-align:center]3[/td][td=][/td][td=]Dwie kreski poziome i cztery kropki nad[/td][td=text-align:center]14[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Cztery kropki poziomo[/td][td=text-align:center]4[/td][td=][/td][td=]Trzy kreski poziome jedna nad drugą[/td][td=text-align:center]15[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Pozioma kreska[/td][td=text-align:center]5[/td][td=][/td][td=]Trzy kreski poziome i kropka nad[/td][td=text-align:center]16[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Pozioma kreska i kropka nad[/td][td=text-align:center]6[/td][td=][/td][td=]Trzy kreski poziome i dwie kropki nad[/td][td=text-align:center]17[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Pozioma kreska i dwie kropki nad[/td][td=text-align:center]7[/td][td=][/td][td=]Trzy kreski poziome i trzy kropki nad[/td][td=text-align:center]18[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Pozioma kreska i trzy kropki nad[/td][td=text-align:center]8[/td][td=][/td][td=]Trzy kreski poziome i cztery kropki nad[/td][td=text-align:center]19[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Pozioma kreska i cztery kropki nad[/td][td=text-align:center]9[/td][td=][/td][td=][/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]Dwie kreski poziome jedna nad drugą[/td][td=text-align:center]10[/td][td=][/td][td=][/td][/tr][/table:1uhiy09e]

Oraz inny obrazek pokazujący pełniejszą formę zapisu matematycznego z zastosowaniem zera:





Liczby od 1 do 4 zaznaczane były odpowiednią ilością kropek, liczba 5 poziomą kreską, liczby od 6 do 9 poziomą kreską z odpowiednią ilością kropek nad kreską, 10 oznaczano dwiema kreskami (jedna nad drugą), 11-14 dwiema kreskami ze stosowną liczbą kropek u góry, 15 trzema kreskami i wreszcie 16-19 trzema kreskami wraz z odpowiednia liczbą kropek u góry. Ten podstawowy zestaw liczb był zatem budowany na sposób addytywny. Nowością jest tu nie - rozbudowywanie zapisów na tę samą modłę, ale ,,dopuszczenie do głosu'' liczb naprawdę dużych.

System Majów był systemem pozycyjnym dwudziestkowym, aczkolwiek nie w pełni. Istniał (co charakterystyczne dla systemów pozycyjnych) podział na jednostki odpowiednich rzędów.

Rząd wielkości - Nazwa - Rozliczenie

1 - kin - jednostka
20 - uinal - 20 x kin
360 - tun - 18 x uinal
7 200 - katun - 20 x tun
144 000 - baktun - 20 x katun
2 880 000 - piktun - 20 x baktun
57 600 000 - calabtun - 20 x piktun
1 152 000 000 - kinchiltun - 20 x calabtun
23 040 000 000 - alautun - 20 x kinchiltun

Rozliczenie w powyższej tabeli wskazuje odtępstwo od systemu dwudziestkowego przy tworzeniu wyższych rzędów. Trzymając się ściśle zasad systemu dwudziestkowego, jednostka wyższego rzędu tun powinna wynosić 20 x uinal = 400, a nie 18 x uinal = 360. Miało to związek z kalendarzem Majów, który liczył sobie 18 miesięcy 20-dniowych oraz 5 dni dodatkowych (patrz dalej: Kalendarz Majów) -- łącznie 365 dni.

,,Cyfry'' od 0 do 19 umieszczane były w odpowiednich rzędach wielkości. Zapis dokonywany był nie w kierunku poziomym (jak u większości narodów), lecz w kierunku pionowym z góry do dołu, w ten sposób, że najwyższe rzędy znajdowały się u góry, a najniższy (jednostek) na dole.

Na przykład rok 1974 w zapisie Majów (jako liczba, bo Majowie posługiwali się innym kalendarzem -- mieli swój własny początek ery...) wyglądałby następująco:


[table=text-align:left:1uhiy09e][tr=][td=][/td][td=] 5 x 360[/td][td=]=    1800[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=] 8 x 20[/td][td=]=    160[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=] 14 x 1[/td][td=]=    14[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=][/td][td=]=    -----------[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=][/td][td=]1974[/td][/tr][/table:1uhiy09e]


Z kolei ,,rok'' 1839 miałby dwa warianty zapisu:

[table=text-align:left:1uhiy09e][tr=][td=][/td][td=] 5 x 360[/td][td=]= 1800[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=] 1 x 20[/td][td=]=    20[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=] 19 x 1[/td][td=]=    19[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=][/td][td=]=    -----------[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=][/td][td=]1839[/td][/tr][/table:1uhiy09e]
   

[table=text-align:left:1uhiy09e][tr=][td=][/td][td=] 4 x 360[/td][td=]= 1440[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=]19 x 20[/td][td=]= 380[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=] 19 x 1[/td][td=]= 19[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=][/td][td=]=    -----------[/td][/tr]
[tr=][td=][/td][td=][/td][td=]1839[/td][/tr][/table:1uhiy09e]
« Last Edit: (Thu) 01.01.1970, 02:00:00 by Guest »
"Najlepsza część życia ludzkiego to małe, bezimienne i zapomniane akty dobroci i miłości."

William Wordsworth